Divisibilité par 240

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à \(7\) .

1. a. Justifier que \(p\) n'est pas congru à \(0\) modulo \(3\) .
    b. Montrer que \(p^4-1\) est divisible par \(3\) .

2. a. Justifier qu'il existe un entier \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(p^2-1=4k(k+1)\) .
    b. En déduire que \(p^2-1\) est divisible par \(8\) .
    c. Montrer alors que \(p^4-1\) est divisible par \(16\) .

3. En raisonnant modulo \(5\) , montrer que \(p^4-1\) est divisible par \(5\) .

4. Démontrer que \(p^4-1\) est divisible par \(240\) .